Question

已知函数，，当时，恒有；

（1）求的表达式；

（2）设不等式，的解集为，且，求实数的取值范围；

（3）若方程的解集为，求实数的取值范围；

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；

（2）由（1）中函数的表达式，利用对数函数的单调性，我们可将不等式，转化为一个分式不等式，由不等式，的解集为，且，可以构造出关于的不等式，解不等式即可求出满足条件的实数的取值范围.

（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程

的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.

（1）当时，恒有；

，即恒成立，

，又，即，从而.

.

（2）由不等式，

即，且，

由于解集，故，

所以，即，

又因为，所以实数的取值范围为.

（3），

方程的解集为，故有两种情况：

①方程无解，即，得；

②方程有解，两根均在内，

令，

则，

综上①②得实数的取值范围.