Question

已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，弦的中点的横坐标为，.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题得，再利用抛物线的定义求p的值，即得抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，.根据已知求出k=2, 设与直线平行的直线的方程为，根据直线和抛物线相切求出b的值得解.

（Ⅰ）设，，

因为的中点的横坐标为，所以.

根据抛物线定义知.

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，.

则由得.

所以，即，解得.

设与直线平行的直线的方程为，

由得.

依题知，解得.

故所求的切线方程为.