Question

如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由三角形的边角关系可证，再由底面，可得.即可证明底面，由面面垂直的判定定理得证.

（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

解析：（1）证明：由，，，，，所以，又，

∴，

∴，

∴，

因为底面，底面，

∴.

因为，底面，底面，

底面，

底面，

所以面面.

（2）由（1）可知为与平面所成的角，

∴，∴，，由及，

可得，，

以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间坐标系，

则

，，，，

设平面的法向量为，

则，，取，

设平面的法向量为，

则，，取，

所以，所以二面角余弦值为.