Question

已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）圆是以椭圆的焦距为直径的圆，点是椭圆的右顶点，过点的直线与圆相交于，两点，过点的直线与椭圆相交于另一点，若，求面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由焦点和过点，得到方程组，解得.

（2）由过点的直线与椭圆相交于两点，知直线的斜率存在，设的方程为，由题意可知，联立椭圆方程，设，则，由直线与垂直，可设的方程为，即，圆心到的距离，表示出，再由利用基本不等式即可求出三角形面积的取值范围.

【解析】
（1），所以，将代入椭圆方程得，所以，整理得，所以或（舍去），所以，所以椭圆的方程为.

（2）由过点的直线与椭圆相交于两点，知直线的斜率存在，

设的方程为，由题意可知，联立椭圆方程，得，

设，则，得，所以；

由直线与垂直，可设的方程为，即，圆心到的距离，又圆的半径，所以，，由即，得，，

设，则，，当且仅当即时，取“”，所以的面积的取值范围是.