Question

设.

（1）若，且为函数的一个极值点，求函数的单调递增区间；

（2）若，且函数的图象恒在轴下方，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）求出的导函数，由为函数的一个极值点，则，即可求出参数的值，解得到函数的单调递增区间.

（2）依题意，，即在上恒成立，

令，利用导数研究函数的单调性、极值，则的极小值需大于零，再次构造函数求出参数的取值范围.

【解析】
（1），，由题意，所以，所以，令，得或，当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和；

（2）依题意，，即在上恒成立，

令，则.

对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为-1，

则两个零点一正一负，设其中一个零点为，

则，即，

且在上单调递减，在上单调递增，

故，即，

令，

则，

当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，又，故，显然函数在上是关于的单调递增函数，则，故实数的取值范围为.