Question

如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，D，E分别是，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段（含端点）上是否存在点M，使点M到平面的距离为，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，理由见解析.

【解析】

(1)证明面即可证明平面平面；

(2) 设交于点O,过点A作,连,证明即为所求二面角再计算即可；

(3) 取中点,连接,,再证明当点M与点重合时,点M到平面的距离为即可.

（1）证明：面,面，,

又，，面,面，

①，

，，，，

则，②，

又，结合①②可得面，

又平面，∴面面；

（2）设交于点O,过点A作,连，

面，平面，，

，，面，面，，

即为所求二面角，

在中：，

在中：,，

中：，，

因此，二面角的余弦值为；

（3）当点M与点重合时,点M到平面的距离为.

取中点,连接,，

四边形为平行四边形，且，

、分别为、的中点，且，

四边形为平行四边形，且，

在三棱柱中，，，∴B,,D,四点共面，

面，平面，故，

又，，平面，

设点到平面的距离为，由，

即，即， .

故当点M与点重合时,点M到平面的距离为.