Question

已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；

（3）在（2）的条件下求面积的最大值.

Answer

（1）;（2）证明见；解析；定点；（3）.

【解析】

（1）根据直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径列一个方程，再根据等边三角形性质得，解方程组得 ，即得结果；

（2）先设直线方程，与椭圆方程联立分别解得M,N坐标，再求斜率（注意讨论），利用点斜式得直线方程，即得定点坐标；

（3）利用韦达定理以及弦长公式得，再根据三角形面积公式得面积的函数关系式，最后根据基本不等式求最大值.

（1）由题意可得：，，

椭圆的方程为：.

（2）由题意知，设：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），，

，同理可得：.

i：当时，直线斜率存在，

，

，直线过定点.

ii：当时，直线斜率不存在，直线方程为：，也过定点，

综上所述：直线过定点.

（3）设，由（2）知：

，

令，在单调递减，

∴当时，.