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已知椭圆的两个焦点,与短轴的一个端点构成一个等边三角形,且直线与圆相切. (1)...

已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个等边三角形,且直线与圆相切.

1)求椭圆的方程;

2)已知过椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆两点,且,求证:直线过定点,并求出定点坐标;

3)在(2)的条件下求面积的最大值.

 

(1);(2)证明见;解析;定点;(3). 【解析】 (1)根据直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径列一个方程,再根据等边三角形性质得,解方程组得 ,即得结果; (2)先设直线方程,与椭圆方程联立分别解得M,N坐标,再求斜率(注意讨论),利用点斜式得直线方程,即得定点坐标; (3)利用韦达定理以及弦长公式得,再根据三角形面积公式得面积的函数关系式,最后根据基本不等式求最大值. (1)由题意可得:,, 椭圆的方程为:. (2)由题意知,设:,. 由消去得:, 解得:或(舍去),, ,同理可得:. i:当时,直线斜率存在, , ,直线过定点. ii:当时,直线斜率不存在,直线方程为:,也过定点, 综上所述:直线过定点. (3)设,由(2)知: , 令,在单调递减, ∴当时,.
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