Question

已知圆

（Ⅰ）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程；

（Ⅱ）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．

Answer

（Ⅰ）直线方程为或（Ⅱ）时，弦长最短为

【解析】

（Ⅰ）求出圆的圆心以及半径，利用垂径定理求出圆心到直线的距离，分别讨论直线斜率存在与不存在的情况，利用点到直线的距离公式，即可求得直线方程。

（Ⅱ）求出直线过定点,当时，弦长最短，从而得到答案。

由题可得圆的圆心，半径

（Ⅰ）设点到直线距离为，圆的弦长公式，得，解得，

①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意

②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，

所以直线的方程为，

综上，直线方程为或

（Ⅱ）由直线，可化为，可得直线过定点,

当时，弦长最短，又由，可得，

此时最短弦长为．