Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE； （Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．

证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．

∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，

∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，

∴AF∥平面PCE；

（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD

PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD

∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC

由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC

又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．