Question

已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.

（I）求该椭圆的方程；

（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.

Answer

（I）.（II）见解析.

【解析】

（I）由椭圆的焦距和离心率可得，，故，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线的斜率，当斜率存在时设其方程为，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得，即得结论成立．

（I）由题意可知，故，

又，

∴，

∴，

∴椭圆方程为．

（II）由题意得，当直线的斜率不存在时，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于两点，

∴，

解得．

设，，

则，，

又，

∴.

即直线，的斜率之和为定值.