Question

如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．

(1)求证：平面ABE；

(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．

(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）见解析（II）（III）

【解析】

试题

（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．

（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设，，则，而平面的法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．

试题解析：

（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，

设平面的法向量，∴不妨设，又，

∴，∴，又∵平面，∴平面．

（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，

∴不妨设，∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设 ，，∴，

∴，又∵平面的法向量，

∴，∴，∴或．

当时，，∴；当时，，∴．

综上，．