Question

已知函数.

⑴若函数的图象经过点，求实数的值.

⑵当时，函数的最小值为1，求当时，函数最大值.

Answer

⑴b＝2；⑵见解析.

【解析】

（1）把点的坐标代入f（x）计算；

（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．

【解析】
（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2．

（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b．

①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数，

∴fmin（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣．

∴fmax（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13．

②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数，

∴fmin（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝（舍）．

③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．

∴fmin（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝或b＝﹣（舍）．

∴fmax（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+2．

综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+2．