Question

如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左右焦点分别为，，椭圆右顶点为，点在圆：上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点在椭圆上，且位于第四象限，点在圆上，且位于第一象限，已知，求直线的斜率.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由题意知，的值，及，，之间的关系求出椭圆的标准方程；
（2）设，的坐标，设直线的方程，由向量的关系可得，，三点关系，直线与圆联立求出的坐标，直线与椭圆联立求出的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线的斜率．

（1）圆：的圆心，半径，与轴交点坐标为，，

点在圆：上，所以，从而，，

所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）由题，设点，，；点，，.

则，，由知点，，共线.

直线的斜率存在，可设为，则直线的方程为，

由，得，或，

所以，

由，得，解得，或，

所以，

代入得，

，又，得，

所以，又，可得直线的斜率为.