Question

已知函数.

（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）

Answer

（1）函数的单调增区间为，单调减区间为（2）

【解析】

（1）求导，由导数的结合意义可求得，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；
（2）对进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．

（1）函数的定义域为，

，

则，所以，

此时，定义域为，，

令，解得；令，解得；

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2）函数在区间上的图象是一条不间断的曲线.

由（1）知，

1）当时，对任意，，，则，所以函数在区间上单调递增，此时对任意，都有成立，从而函数在区间上无零点；

2）当时，令，得或，其中，

①若，即，则对任意，，所以函数在区间上单调递减，由题意得，且，解得，其中，即，

所以的取值范围是；

②若，即，则对任意，，所以函数在区间上单调递增，此时对任意，都有成立，从而函数在区间上无零点；

③若，即，则对任意，；所以函数在区间上单调递增，对任意，都有成立；

对任意，，函数在区间上单调递减，由题意得

，解得，

其中，即，

所以的取值范围是.

综上可得，实数的取值范围是.