Question

设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数，当且时，都有，则称数列，是“接近的”.已知无穷等比数列满足，无穷数列的前项和为，，且，.

（1）求数列通项公式；

（2）求证：对任意正整数，数列，是“接近的”；

（3）给定正整数，数列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此时的（均用表示）.（参考数据：）

Answer

（1）（2）证明见解析（3）的最小值，此时

【解析】

（1）设等比数列公比为，由，可求得首项和公比，进而求得通项；
（2）只需证明成立，即可得证；
（3）由题设可求得，根据定义进而得到对都成立，再构造函数求解即可．

（1）设等比数列公比为，由得，解得，故.

（2）.

对任意正整数，当，且时，有，

则，即成立，

故对任意正整数，数列，是“接近的”.

（3）由，得到，且，

从而，于是.

当时，，，解得，

当时，，又，

整理得，所以，因此数列为等差数列.

又因为，，则数列的公差为1，故.

根据条件，对于给定正整数，当且时，都有

成立，

即①对都成立.

考察函数，，令，

则，当时，，所以在上是增函数.

又因为，所以当时，，即，

所以在上是增函数.

注意到，，，，

故当时，的最大值为，

的最小值为.

欲使满足①的实数存在，必有，即，

因此的最小值，此时.