Question

已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且是线段的中点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知是椭圆的左焦点，求的面积．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设、，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段的中点坐标为，求出斜率，进而可得、的关系，根据右焦点为，求出、的值，即可得出椭圆的离心率；

（2）直线的方程为，椭圆的方程为，联立直线与椭圆的方程，化为关于的一元二次方程，求出以及点到直线的距离，即可得出的面积．

（1）设、，由于直线的中点坐标为，

则，可得，

将、两点坐标代入椭圆的方程，得，

两式相减得，即，

，所以直线的斜率为，

而直线的斜率为，，

椭圆的右焦点为，，，

因此，椭圆的离心率为；

（2）直线的方程为，椭圆的方程为，

联立直线与椭圆的方程得，

化为，由韦达定理得，

，

点到直线的距离．

因此，的面积．