过抛物线
的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于
、
两点，交圆
于M，N两点（A，M两点相邻）．
（1）求证：
为定值；
（2）过A，B两点分别作曲线C的切线
，
，两切线交于点P，求
与
面积之积的最小值．
某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取
个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取
个，求恰好有
个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案
：不分类卖出，单价为
元
.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价(元/kg） | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取
个，再从抽取的个水果中随机抽取
个，
表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望
.
如图，等腰梯形
中，
，
，E为CD中点，将
沿AE折到
的位置．
（1）证明：
；
（2）当折叠过程中所得四棱锥
体积取最大值时，求直线
与平面
所成角的正弦值．
高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为
、
、
，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.
已知直线
是曲线
的一条切线，则
的取值范围是_________.
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为______里.
