Question

已知，其中常数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个零点，求证：.

Answer

（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）分类讨论，求导数，当恒成立时，分离参数，即可得到；

（2）函数若有两个零点，则，即有，证明在上单调递增，可得；结合函数零点存在定理，即可得证．

【解析】
（1）若，则显然成立；

若，由得，令，

则，

令，由得在上单调递增，

又，所以在上为负，在上为正，

∴在上递减，在上递增

∴，从而.

（2）函数若有两个零点，则，

所以，

由得，则

,

∴在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增

∴，则

∴

由得，则

∴

综上得