Question

如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．

（1）求证：．

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）0

【解析】

（1）取AD中点E，连接，由已知可得，又即可证平面，从而可得；

（2）建立相应的空间直角坐标系，应用面的法向量垂直得到其余弦值为0.

（1）因为底面ABCD为菱形，且，所以为等边三角形．如下图，作，则E为AD的中点．

又因为为等边三角形，所以．

因为PE和BE为平面PBE内的两条相交的直线，所以直线平面PBE，

又因为PB为面PBE内的直线，所以．

（2）为等边三角形，边长为2，

，所以，，

因为，

所以面，

如图建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

，即，即，

取，则，，

设平面的法向量为，

，即，即，

取，则，，

因为，

设二面角的平面角为，则有.