Question

欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：

（1）判断复数在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；

（2）若，求的值.

Answer

（1）第二象限，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）根据复数的欧拉公式将复数表示为一般形式，判断实部与虚部的符号，即可判断出该复数在复平面内对应的点所在的象限；

（2）由题意可知，复数为负实数，由此可得出，利用同角三角函数的平方关系即可求出的值.

（1）复数在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下：

在复平面内对应的点的坐标为，

由于，因此，，点在第二象限，

故复数在复平面内对应的点位于第二象限；

（2），为负实数（虚数无法比较大小）

，解得.