Question

已知函数是定义在R上的奇函数.

（1）求函数的解析式，判断并证明函数的单调性；

（2）若存在实数，使成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），函数在上单调递减，证明见解析（2）

【解析】

（1）由为奇函数且定义域为R,则,即可求得,进而得到解析式；设,代入解析式中证得即可；

（2）由奇函数,可将问题转化为,再利用单调性可得存在实数,使成立,即为存在实数,使成立,进而求解即可

【解析】

（1）为奇函数且定义域为R,

所以,即,所以,

所以,

所以函数在R上单调递减,

设,则

,

因为,所以,即,

所以,

所以,即,

所以函数在上单调递减.

（2）存在实数,使成立.

由题,则存在实数，使成立,

因为为奇函数,所以成立,

又因为函数在R上单调递减,

所以存在实数,使成立,

即存在实数,使成立,

而当时,,

所以的取值范围是