Question

平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

(1)取的中点或取中点,利用证平行四边形的方法再证明平面即可.

(2)根据勾股定理与余弦定理证明,再根据面面垂直的性质得出平面即可证明.

(3) 以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.

设,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.

（1）解法1：取的中点,连结,,,

在直角梯形中,,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

在中,,

所以,

又因为,

所以平面平面,

又平面,

所以平面.

解法2：取中点,连结,,

在中,,,

所以,且,

又,,

所以,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

因为平面,平面,

所以平面.

（2）在中,,,

所以,

所以,

所以,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

因为平面,

所以.

（3）由（1）（2）以为原点,以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.

所以,,,,,

所以,

所以,,,

设,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

设平面的法向量为,

所以,

所以令,则,

如与平面成的角为,

所以.

所以,即与面成的角为.