Question

若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“—数列”.

（1）若是“—数列”且，写出的所有可能值；

（2）设是“—数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；

（3）若是“—数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.

Answer

（1）-2，0，2，8（2）证明见解析（3）当时，有32种；当时，有31种.

【解析】

(1)根据“—数列”的定义逐项分析即可.

(2)分别根据等差等比数列的定义,分别证明对应的必要性和充分性即可.

(3)分别证明是数列中的最大项与当是奇数时,是的奇数倍；当是偶数时,是的偶数倍再根据周期的性质证明即可.

（1）【解析】
由题,所有可能的情况有,,.

故的所有可能值为 -2,0,2,8.

（2）证明：因为,所以或.

当是等差数列时,假设,则,此时,,而,矛盾！所以.于是公差,所以单调递减.

当单调递减时,对任意,,又,所以,从而是等差数列.

当是等比数列时,,所以,于是公比.又,所以单调递增.

当单调递增时,对任意,.又,所以,即.因为,所以是等比数列.

（3）【解析】
先证明是数列中的最大项.

事实上,如果是第一个大于的项的脚标,则由

知,是的倍数.假设,,…,都是的倍数,则由

知,也是的倍数.所以由归纳法知,对任意,都是的倍数,但不是的倍数,这与是周期数列矛盾！

所以是数列中的最大项,从而当时,.

再证明当是奇数时,是的奇数倍；当是偶数时,是的偶数倍.

事实上,当时结论成立.假设时成立,当时,由知,结论也成立.

设的最小正周期是,因为,所以是偶数.

反过来,当是偶数时,我们证明存在一个以为最小正周期的“一数列”.

事实上,令,,…,,,,…,,,之后再以为周期循环即可.

当以为最小正周期时,集合的元素个数为,其中表示不超过的最大整数.因此所求即为,,…,中不同项的个数.

当时,,所以从到0中的所有整数值都能取到,有32种.

当时,,所以,,…,两两不同,有31种.