Question

已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.

（1）求实数的值；

（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；

（3）解关于的不等式.

Answer

(1)；(2) ；详见解析（3）

【解析】

（1）根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得出，并可求出，从而可得出，求出；（2）根据上面知，时，，从而可设，从而得出，从而得出时，，再根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性.（3）不等式等价于，即，解不等式组即得解.

（1）函数是定义在上的奇函数，

，即，，

又因为（2），所以（2），

即，所以，

综上可知，.经检验满足题意.

（2）由（1）可知当时，，

当时，，且函数是奇函数，

，

当时，函数的解析式为，

任取，，且，则，

，，且，

，，，

于是，即，

故在区间上是单调增函数；

（3）是定义在上的奇函数，且，

，且在上是增函数，

，解得，

原不等式的解集为．