Question

已知函数（且）.

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）若，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）奇函数；证明见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数的奇偶性；

（2）由，可得出，利用复合函数可分析出函数在区间上为减函数，由题意得，于是得出关于的方程在区间上有两解，即关于的方程在上有两个不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于的不等式组，解出即可.

（1）函数是奇函数；证明如下：

由解得或，所以，函数的定义域为，关于原点对称．

，

因此，函数为奇函数；

（2）由题意知，，且，.

令在上为增函数，

而函数为减函数，所以，函数在上为减函数，

假设存在，使得题意成立，则函数在上为减函数，

则有，即，．

所以、是方程的两正根，

整理得在有个不等根和，由韦达定理得，则.

令，则函数在有个零点，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.