Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数的值．（2）求出函数在区间上的值域为，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数在上是以为上界的有界函数，即在区间上恒成立，可得上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数的范围．

试题解析：（1）因为函数为奇函数，

所以，即，

即，得，而当时不合题意，故．

（2）由（1）得：，

而，易知在区间上单调递增，

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的值域为，所以，

故函数在区间上的所有上界构成集合为．

（3）由题意知，在上恒成立，

，．

∴在上恒成立．

∴

设，，，由，得．

易知在上递增，

设，，

所以在上递减，

在上的最大值为，在上的最小值为，

所以实数的取值范围为．