Question

如图,在三棱锥中,为等腰直角三角形,为等边三角形,其中O为BC中点,且.

(1)求证:平面平面PBC;

(2)若且平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析;(2).

【解析】

（1）由题意可得,,利用线面垂直的判定定理证出平面PAO,从而得证.

（2）作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出以及平面ABC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

(1) 证明:由题可知,,,且,

故平面PAO,又平面PBC,因此平面平面PBC.

(2)作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上.

如图,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:,,,,

设P点坐标为,利用,,可得.从.

因为E为AP上的点,故存在实数,使得,点E坐标可设为,

由平面EBC知,,得,

从而,取平面ABC的一个法向量.

设CE与平面ABC所成角的为,.

故CE与平面ABC所成角的正弦值为.