已知函数有两个不同零点,. (1)求a的取值范围; (2)证明:当时,.

已知函数有两个不同零点,.

(1)求a的取值范围;

(2)证明:当时,.

(1);(2)证明见解析. 【解析】（1）求出导函数，求出函数的单调递增、递减区间，从而在处取得最大值,需满足,然后验证在，分别有零点即可. （2）由(1)可知,,证出，再利用函数的单调性即可得出，从而得证. (1)由题,, 则当时,,单调递增; 当时,,单调递减. 故在处取得最大值,由题可知,需满足,即. 当时,,, 故函数在上存在一个根, 存在, 使得 , 从而函数在上存在一个根, 故a的取值范围为. (2)由(1)可知,, 因此令, 则, 而,即, 从而在上单调递减.所以, 因此,又因为在上单调递减,且,, 所以,从而.

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考点分析：

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