Question

已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.

（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，且，求直线的倾斜角的值.

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；

（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．

(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，

即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)将 代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4，得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，

化简得t2－2tcos α－3＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，

故4cos2α＝1，解得cos α＝±.因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝或.