Question

已知抛物线的焦点到其准线的距离为.

（1）求抛物线的方程;

（2）设直线与抛物线相交于两点,问抛物线上是否存在点,使得是正三角形？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer

（1） （2）存在，点的坐标为

【解析】

（1）因为抛物线,物线的焦点为,准线为,由,即可求得答案;

（2）设,,则由消掉得:,解得,假设抛物线上存在满足条件的点,结合已知,即可得出答案.

（1）抛物线

抛物线的焦点为,准线为,

由得,

抛物线的方程为.

（2）设,,

则由消掉得:

即,

根据韦达定理可得:,.

又 由两点间距离公式可得:

,

.

假设抛物线上存在满足条件的点,

设的中点,

则,

即.

是正三角形,

,且.

由和直线和

可得的方程为:即.

又 由点在上,

.①

由及点到直线的距离,得②

由联立①②解得或

检验点不在抛物线上,

存在满足条件的点的坐标为.

另法参考：亦可由

得或

经验证,点不符合条件.

存在满足条件的点的坐标为.