Question

已知椭圆的焦距等于,短轴与长轴的长度比等于.

（1）求椭圆的方程;

（2）设点在椭圆上,过作两直线,分别交椭圆于另外两点,当的倾斜角互为补角时,求面积的最大值.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）因为椭圆的焦距等于,短轴与长轴的长度比等于,可得: ,即可求得答案;

（2）设,,由题条件知直线的斜率存在且互为相反数,

设的斜率为,由（1）中的方程知,的方程为,即可求得和点到直线直线的距离的表达式,进而求得面积的最大值.

（1） 椭圆的焦距等于,短轴与长轴的长度比等于

得

解得,,

椭圆的方程为.

（2）设,,

由题条件知直线的斜率存在且互为相反数,

设的斜率为,由（1）中的方程知,

的方程为.

由消掉

可得,

显然是上述方程的一个根,

根据韦达定理可得:.

同理可得,

于是,,

,

.

可设直线的方程为,

则由,消掉

可得:

其中由,

得,且此时有

又 点到直线的距离,

根据两点距离公式可得:,

,

(此时).