Question

如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为-1.

（1）求和的值；

（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题（1）将点代入抛物线：，得，联立直线与抛物线方程，消去，得，则，，由，求出；（2）求出直线DM的方程为，联立直线DM的方程和抛物线的方程，求出，利用导数的几何意义，求出切线n的斜率为，得到切线n的方程，联立直线DM、n的方程，求出Q点的纵坐标，且，采用导数的方法得出单调性，由单调性求出最小值．

试题解析：（1）将点代入抛物线：，得，

，得，

设，，则，，

解法一： ，

由已知得，所以，.

解法二： ，

由已知得.

（2）在直线的方程中，令得，，

直线的方程为：，即，

由，得，

解得：，或，所以，

由，得，，切线的斜率，

切线的方程为：，即，

由，得直线、交点，纵坐标，

在直线，中分别令，得到与轴的交点，，

所以 ，，，

当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；

∴当时，最小值为.