Question

设函数．

Ⅰ求函数的单调区间；

Ⅱ记函数的最小值为，证明：．

Answer

（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.

【解析】

（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；

（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，

构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.

（Ⅰ）显然的定义域为．

．

∵，，

∴若，，此时，在上单调递减；

若，，此时，在上单调递增；

综上所述：在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

即：．

要证，即证明，即证明，

令，则只需证明，

∵，且，

∴当，，此时，在上单调递减；

当，，此时，在上单调递增，

∴．

∴．∴．