Question

已知函数（）.

（1）若函数在区间上的最小值为1，求实数m的值；

（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）令，将函数化为二次函数，通过讨论二次函数对称轴的不同位置得到函数的单调性，从而利用最小值构造方程求得的值；

（2）由与，结合奇偶函数可构造方程组求得与解析式；采用分离变量的方式将不等式化为，令，根据对号函数的性质可求得的最小值为，从而得到，进而得到的取值范围.

（1）由题意得：

令

在上的最小值为

①当，即时，在上单调递减

解得：（舍）

②当，即时，在上单调递增

解得：

③当，即时，在上单调递减，在上单调递增

，解得：（舍）或（舍）

综上所述：

（2）

当时，，即

令，则

令，，则在上单调递减，在上单调递增

，解得：

即实数的取值范围为