Question

已知．

（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，最小值为，令，求的解析式及其最小值（注：为自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ），1．

【解析】

（Ⅰ）由复合函数的单调性得函数在上单调递增，则，解出即可；

（Ⅱ）由题意得，设，则，，再分类讨论即可得到，再根据函数的单调性即可求出最小值．

【解析】
（Ⅰ）∵函数在上单调递增，

函数在上单调递增，，

∴函数在上单调递增，

∴，解得，

∴实数的取值范围是；

（Ⅱ）∵，∴，设，

则，，

①当时，函数在上单调递增，

∴最大值，最小值，

∴；

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

∴最大值，最小值，

∴；

③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

∴最大值，最小值，

∴；

④当时，函数在上单调递减，

∴最大值，最小值，

∴；

综上，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

当时，取最小值1．