Question

已知函数,为常数,当时,有三个极值点,,(其中).

（1）求实数的取值范围;

（2）求证:.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）函数函数的定义域为,由,得,令,得是一个根,要使在上有三个极值点,,,则有三个解,结合已知,即可求得答案;

（2）由(1)知,是方程在内的个解, ,令,,,即,要证.只要证,即可求得答案.

（1）函数函数的定义域为,

由,得,

令,得是一个根,要使在上有三个极值点,,,

则有三个解,所以在必有个解,.

,

令,则,

由,得,

由,得,

在上单调递减,上单调递增,

,当时,,,

为了满足题意,必有,

的取值范围为.

（2）由(1)知,是方程在内的个解,

,,

,

令,,

则,即,

要证.

只要证

,

,

结合函数的图像知,

两点,连线的斜率比两点,连线的斜率小,

即只要证:,即:,().

令(),

,

在单调递减,

,

.