Question

如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点．

（１）证明：平面平面；

（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长．

试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，

又是正三角形的边的中点，所以

又，因此平面

而平面，所以平面平面

（2）设的中点为，连结,

因为是正三角形，所以

又三棱柱是直三棱柱，所以

因此平面，于是为直线与平面所成的角，

由题设，，所以

在中，，所以

故三棱锥的体积