Question

已知圆C: ，直线l过点.

（1）若直线l与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C交于M，N两点，且，求以MN为直径的圆的方程；

（3）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）或.（2）（3）不存在，见解析

【解析】

(1)分类讨论，斜率存在时根据圆心到直线的距离为1列出方程即可求得斜率，斜率不存在时验证是否满足条件即可；(2)由弦心距推出P为弦MN的中点即可求得圆的方程；(3) 由直线与圆相交推出弦心距小于圆的半径求出a的范围，假设存在a使得l垂直平分弦AB，则，即可求出a.

【解析】
（1）当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为．

又圆C的圆心为，半径，由，解得

所以直线l的方程为，即.

当l的斜率不存在时，l的方程为，经验证也满足条件.

所以直线l的方程为或.

（2）由于，而弦心距，

所以，所以P为弦MN的中点，

故以MN为直径的圆Q的方程为.

（3）直线与圆C交于A，B两点，

则弦心距小于圆的半径，即，化简得.

设符合条件的实数a存在，由于l垂直平分弦AB，故直线l过圆心．

所以l的斜率，而，所以.

由于，故不存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB.