Question

已知函数.

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.

（2）讨论函数的单调性.

Answer

（1）；（2）见详解

【解析】

（1）利用等价转换的思想，紧接着分离参数，然后构造新的函数，通过观察新函数的单调性，根据新函数的值域与的关系，可得结果.

（2）利用导数研究含参数的函数的单调性，结合分类讨论，可得结果.

（1）依题意：

，

所以在上恒成立，

故，而，

当时，，

故，解得，

即实数的取值范围为.

（2）由（1）可得，

，

若，令

则；

若或，则，

令，解得，

记，，

其中；

①若，则；

②若，

则，故当时，；

③若，

则，其中，

故当时，，

当时，；

④若，

则，其中，

故当时，，

当时，，

当时，；

综上所述：

当时，

函数在上单调递增；

当时，

函数在上单调递增，

在上单调递减；

当时，

函数在，

上单调递增，

在上单调递减.