Question

已知函数且a≠0）．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可知．，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

（2）当a＜-1时，求出，解得，不成立；②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递减．f（x）无极小值；当-1＜a＜0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a＞0时，极小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．

（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．

由题意可知．

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．

（Ⅱ）①当a＜-1时，x变化时变化情况如下表：

x

1

（1，+∞）

-

0

+

0

-

f（x）

↘

极小值

↗

极大值

↘

此时，解得，故不成立．

②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．

此时f（x）无极小值，故不成立．

③当-1＜a＜0时，x变化时变化情况如下表：

x

（0，1）

1

-

0

+

0

-

f（x）

↘

极小值

↗

极大值

↘

此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，

解得或．

因为-1＜a＜0，所以．

④当a＞0时，x变化时变化情况如下表：

x

（0，1）

1

（1，+∞）

-

0

+

f（x）

↘

极小值

↗

此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，

解得或，故不成立．

综上所述．