Question

已知函数，为的导函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）求证：在上有且仅有两个零点.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对求导，得到，代入得到切线斜率，利用切点，点斜式写出切线方程，得到答案；（2）根据解析式，得到为偶函数，且，对求导，得到，判断出的正负，得到的单调性，结合，由零点存在定理得到在上有且仅有一个零点，从而得到在上有且仅有两个零点.

（1），

又，所以切点为.

故在处的切线方程为；

（2）因为为偶函数，且，

则只需证明在上有且仅有一个零点即可.

，

当时，

故在上单调递减，

因为，，

由零点存在定理，可知存在使得，

所以在上有且仅有一个零点，

因此在上有且仅有两个零点.