Question

已知，.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，证明：.

Answer

（1）在上单调递减；在和上单调递增.（2）见解析

【解析】

（1）先求函数的定义域，再进行求导得，对分成，，三种情况讨论，求得单调区间；

（2）要证由，等价于证明，再对分，两种情况讨论；证明当时，不等式成立，可先利用放缩法将参数消去，转化成证明不等式成立，再利用构造函数，利用导数证明其最小值大于0即可。

（1）的定义域为，

，

当时，由，得；

由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，由，得或；

由，得；

所以在上单调递减，在和上单调递增；

当时，由，得在上单调递增；

当时，由，得或；由，得；

所以在上单调递减；在和上单调递增.

（2）由，得，

①当时，，，不等式显然成立；

②当时，，由，得，

所以只需证：，

即证，令，

则，，

令，

则，

令，

则，

所以在上为增函数，

因为，，

所以存在，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，

所以，

所以原命题得证