Question

已知函数的部分图象如图，该图象与轴交于点，与轴交于点两点，为图象的最高点，且的面积为.

（1）求的解析式及其单调递增区间；

（2）若，且，求的值.

（3）若将的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.试求关于的方程在的所有根的和.

Answer

（1）；单调递增区间为.（2）或；（3）.

【解析】

（1）由题意，可得△BCD的高为2，△BCD的面积为．可得BC长度，即T＝BC，即可求解ω，图象与y轴交于点A（0，），可得φ．从而求解f（x）的解析式；令 ，解出x的范围即可.（2）由，得，且，解出即可.（3）通过三角形函数的平移变换规律解得g（x）解析式，画出g（x）的图像，由三角函数的对称性得出四各根的和.

【解析】
（1）因为函数的最大值为，故的面积，∴，所以函数的周期，即，由函数的图象与交于点，得，∴，∵，∴，所以.

令，，得，，所以的单调递增区间为.

(2)因为，即，又因为，所以，所以或，所以或

(3)由题意易知，画出的图像如图所示：

则方程在有四个根，由正弦函数的对称性得四个根的和为.