Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

Answer

(1)见详解；(2) 或.

【解析】

(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.

(1)对求导得.所以有

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.

若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为

而，故所以区间上最大值为.

即相减得，即，又因为，所以无解.

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为

而，故所以区间上最大值为.

即相减得，解得，又因为，所以无解.

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为

即解得.

综上得或.