Question

已知在正方体中,分别是的中点,在该正方体中是否存在过顶点且与平面平行的平面?若存在,试作出该平面,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

Answer

存在.证明见解析

【解析】

是否存在过顶点的平面与已知的平面平行,那就需要运用面面平行的判定定理来探究,当遇到中点时可以再找其他的中点,构造三角形中位线来证明.

存在.证明如下:

与平面平行的平面有如图所示的三种情况(其中,均为所在棱的中点).

下面以第幅图为例进行证明.

连接,易知,

∴四边形是平行四边形,

.又平面,平面,平面.

是的中位线,

.

∴四边形是平行四边形,

,.

又平面,平面,

平面,

又平面,平面,且.

∴由平面与平面平行的判定定理可得,平面平面.