Question

如图,在正方体中.

(1)求证:平面平面;

(2)试找出体对角线与平面和平面的交点,并证明:.

Answer

(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)先由平行四边形得线线平行,由线面平行判定定理再证得线面平行,找到两条相交线运用面面平行的判定定理证明结果.

(2)连接辅助线,由中点构造出三角形的中位线,这样证明得到线段相等,运用同样的方法来证明另外两条线段相等,即得证三条线段相等.

解析 (1)证明:因为在正方体中,,

所以四边形是平行四边形,所以.

又因为平面,平面,所以平面.

同理平面.又因为,平面,平面,所以平面平面 .

(2)如图,连接交于点,连接与交于点E.又因为平面,所以点E也在平面内,所以点E就是与平面的交点;连接交于点O,连接与交于点F,则点F就是与平面的交点.

下面证明:

因为平面平面,平面平面,

平面平面,所以.在中,是的中点,所以E是的中点,即;同理可证,所以F是的中点,即,所以.