Question

已知函数且）.

(1)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

(2)当时，若不等式对于恒成立，求的最大值.

Answer

(1)当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，证明见解析；(2).

【解析】

（1）对函数进行变形，分类讨论即可得到单调性；

（2）结合（1）的结论，根据单调性转化为对于恒成立，即可求解.

(1)

当时，在上是减函数，

当时，在上是增函数.

证明如下：

任取，

则

因为，所以，，

所以，

所以当时，

，，

所以，故函数在上是减函数.

所以当时，，

所以，所以，

故函数在上是增函数.

(2)易知是奇函数，，

即.

当时，由(1)知，在上是减函数，

从而在上是减函数，故对恒成立，

即对恒成立.

因为在上是减函数，

所以的值域为.

所以，故的取值范围是.