Question

已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程.

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）

（2）存在,

【解析】

（1）将代入，得，即可表示出的面积，计算可得.

（2）设直线的方程为，联立直线与曲线方程，根据焦点弦长公式计算出

，求出线段的垂直平分线与轴交于点的坐标，设，则可用含，的式子表示，即可分析当为何值是为定值.

【解析】
（1）将代入，得，

所以的面积为.

因为，所以，

故的方程为.

（2）由题意设直线的方程为，

由得.

设，，则，

所以.

因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为,

所以线段的垂直平分线的方程为,

令，得，所以的横坐标为，

设，则，

，

所以当且仅当，即时，为定值，且定值为2，故存在点，且的坐标为.