Question

设函数，，数列满足条件:对于，，且，并有关系式:，又设数列满足(且，).

（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；

（3）若，记，，设数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析，；（2）证明见解析，公差为；（3）．

【解析】

（1）由已知得出数列的递推式，凑配后可得是等差数列，从而可得通项公式；

（2）计算后得常数，即证得等差数列；

（3）由错位相减法求得，再由等差数列前项和公式求得，代入不等式，化简后用分离参数法转化为求函数最值．

（1）证明：∵，，，

∴，即，，

又，所以，∴是等比数列．

，∴．

（2）证明：∵，∴，

∴

∴数列是等差数列，公差为，首项为．

（3）由及（1）（2）得，，，

，

∴，

两式相减得：，

∴，

∴不等式为：

，整理得对恒成立，

令，

由，因此递增，且大于0，

所以递增，当时，，且，故，

所以的范围是．