Question

已知函数.

（1）当时，判断在定义域上的单调性；

（2）若对定义域上的任意的，有恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：，.

Answer

（1）因为所以在上单调递减，（2），（3）证明见解析.

【解析】

(1)求导后利用基本不等式证明导函数小于等于0即可.

(2) ,再分、和三种情况分别讨论函数的最大值分析即可.

(3)根据(2)中的结论知,对任意都成立, 取再累加求证即可.

（1）当时,,故

因为,当且仅当时取等号.故

所以在上单调递减.

（2）∵,

当时,则,∴在上单调递增, ,

当时,令,解得,

当时, ,当时, ,

∴在上单调递增,在上单调递减,则时,

,

当时, ,在上单调递减,则,

∴

（3）当时,成立

当时,由（2）知,对任意都成立

取,,则

所以

当时

所以

所以

所以

所以